
这是郝景芳的闲聊自留地,关不关注请随意(但关注会有好运气)~~
数学这件事,常有人问天赋 vs. 努力问题。我今天就从天赋聊起。
如果想看普娃的数学辅导,可以直接跳到后半段。
(好像已经好几年没有发出来家庭录音了,今天多放几段。)

之前我经常讲一个真实故事:
在我女儿五岁的时候,有一次我们和朋友一家人约去蹦床馆玩。朋友家的小男孩当时还不到四岁。
我们 11 点进去蹦床馆,小男孩跳到 12 点就不玩了,觉得太没意思,上楼吃饭的时候,拿出一本数学练习册开始做,当时(不到四岁)他已经可以做 12+13 这样的题目,而且,最关键的是,小男孩非常享受做数学题,就在我们大人的餐桌上一直做。他妈妈让他好好吃饭,别做题,他不肯。
那一天,我女儿从上午 11 点一直跳到下午 5 点,中途都不肯上来吃午饭。就是那一天,我发现女儿的体育天赋。
后来,这个小男孩五岁多的时候,我们全家去他家做客。小男孩拉着我先生一直玩 24 点,加减乘除都算得很好。他家的玩具都只有我家俩娃在玩。
再后来,小男孩八岁参加童行夏令营,自己捧着全文字版的宇宙科普书看。
数学天赋如果有,第一标准就是乐在其中。

数学天赋高低,取决于:抽象概念的接受度、形式逻辑的接受度、以及能在头脑中能快速运行的步骤数量。
一旦家里有俩娃,就会清楚地看到孩子的差异。
举两个小例子:
晴晴五岁多的时候,有一次我们去公园玩,我随口问她:4 乘以 7 等于多少?当时她知道了乘法概念,但是没有背过乘法口诀。她心算了一下说:28。
我问她怎么算的,她说:7+7=14,两个 14 加起来是 28。
点点到了七岁、一年级毕业的时候,算 7+7 还需要在纸上画圆圈,进位凑 10 法也得用画出来再数数的方法。
我有一段时间很不理解这种差异,后来我发现:晴晴头脑中有"缓存系统",可以存大量中间过程结果,例如 7+7 的结果 14,就先缓存,然后可以直接做头脑中进行下一步:14+14=28。但是点点似乎不能在头脑中缓存中间结果,例如 7+3=10, 7 拿走 3 还剩 4, 10+4=14,这样的过程他也需要依赖在纸上画圆圈,再具象地数数。
此外还有"数学直觉",也就是头脑中可以压缩的逻辑步骤。最近给点点讲 2 个 7 加 4 个 7 等于几个 7,发现需要拆分得很详细,点点才能理解等于 6 个 7。但是晴晴 5 岁多就会认为这是显而易见的。所有的"显而易见",其实都是大脑自带处理插件,自动压缩了逻辑链条。
第二个例子是:
晴晴二年级的时候,有一次在出租车上,我问她 1+2+3+ …… +10 等于多少,我提示她可以算一下 1+10, 2+9,她很快发现都等于 11,也很快想到是 5 组 11,得 55。
我于是又问她,那么 1+2+ …… +100 等于多少,她用同样的方式,完全心算,得出是 50 组 101,结果是 5050。这是高斯公式。
这是对"形式逻辑"的接受度。晴晴从 1+2+ …… +10 的过程中,迅速接受了可以用第一个数加最后一个数,再乘以多少组,这样一个形式逻辑。于是稍微一延展,立刻顺利心算出 5050。
数学里面经常用这种方式:先用小范围、简单形式、特殊值来探测结果,然后提炼形式逻辑规则,再延展到更大范围。
但是点点,经常不行。他对于目力可及、能一眼数得清的数量操作都说得很好,可是一旦把 5 和 6,变成 56 和 78,同样逻辑的题目他就说不上来了。说明点点还停留在直观数学的层面,没有完全进入逻辑数学。
因为晴晴有对形式逻辑的很良好的接受度,所以给她讲解初中数学非常容易,她很容易迈过从数字到字母的坎,逻辑外推十分顺利。


晴晴学新的数学抽象概念和规则,接受度都非常高。小学二年级的时候给她简单普及了分数、小数和方程,她都觉得理解不难,三年级也可以自行推导解方程。
最近给她讲初中的有理数计算、绝对值、幂的乘除法、整式加减乘除,她都接受很快,而且基础题做得很准确。
可能有人会问:既然晴晴学数学天赋不错,为什么不让晴晴走奥数路线?
答案是:她只是大脑结构接受数学比较容易,但是并不爱钻研探索。
每次让她学 10 分钟数学,她都要耍赖 8 分钟,学习 2 分钟。虽然 2 分钟就能学会,但是绝不会把剩下的 8 分钟用来精研,而是一定会用来赖皮(见如下音频)。
这样的资质,只能说是比较聪明的快小孩,但并不是数学天赋。
想要走数学之路,大脑结构和热爱,缺一不可。


最近我给晴晴讲初中数学,是用了一套我无意中发现的书:《看得见摸得着的数学》,这套书不是按小学、初中、高中的年级划分,而是按数学里的大概念模块:数、代数、几何,在每一模块贯通。


(可惜!这套书我还真没找到带货链接。)
这是我一向赞同的数学启蒙方式。
如果家里有概念接受比较快、逻辑比较好的小孩、可以在 1-2 年级把小学数学概念都普及,小学高年级把初高中数学概念都普及。
这种普及是浅而直接地建立认知框架,而不是做难题。难题可以在学校跟随进度再具体落地。
经常有人炫耀:某某神童一年级学完六年级数学,小学六年级学完高三数学,简直是天才。大家可千万别被忽悠。
如果只是"理解"层面的学习,中上等的天赋、概念接受度快一些、逻辑好一些的孩子,都能做到这个程度,根本不是什么神童的衡量。
真正的数学天才,不是学得快,而是钻研得"深"。数学思考的深度和创造性发挥程度,才是数学真正天赋的衡量,这才是百万里挑一的天才。
说完了天赋不错的快小孩的数学启蒙,再来说说普娃,或者天赋不太行的慢小孩怎么教。
常常有看到自媒体博主讲自己的育儿经,用自家牛娃证明自己的方法好,然后引导大家学习。
其实,如果只有一个孩子,娃再牛也不能证明方法好。
生了老二就知道,娃牛,不是妈好,只是娃好。
教点点学习的时候,我和我先生时常有一种束手无策的感觉:这个问题你小时候遇到过吗?没有。怎么能连这个都学不会呢?我也不知道。那怎么办?我怎么知道怎么办?
就比如拼音,点点学音调的时候,一年级一整年都没分清四个声调,我就很惊讶。后来在他努力学习的过程中我才发现,他无法把一个音调的标识和声音直接联系起来,他是要分辨四个音调的外形,然后对应出这个符号是 1234 第几个,然后用啊(1)啊(2)啊(3)啊(4)的声音去套,最后才能代入目标拼音,推导出声音。例如云和运,他不能一看拼音就念出来,而是需要这四个逻辑步骤才能念出来。
在一些很明显的数量关系问题中,点点也依然会绕不清楚,对核心概念不够清晰。教点点数学题,就会比晴晴慢很多(如下音频)。
那像点点这样学得慢的小孩,该怎么教呢?
其实,不外乎就是把步骤拆细了,细一点,再细一点。对于反应快的小孩"显而易见"的问题,对学得慢的小孩就得拆分成五六个更细节的步骤,每一步每一步引导。
大脑自带的处理插件不够多,就只能后天一点一点给大脑编程,让大脑建立处理模块。这肯定要费劲很多。
但只要足够慢、步骤足够细,所有的慢小孩都能学会所有知识。
对慢小孩,也要有耐心等他们的发展。随着大脑成长,有一些原本先天自带、但尚未加载的处理插件会加载成功,原来理解不了的问题一下子就会变得容易。
例如点点一年级寒假的时候,对于"一个香蕉等于三个橘子,那么两个香蕉等于几个橘子"之类的典型代换问题,就怎么都不会做。我们就放弃了。过了半年,暑假他再看到这类题,可以很快很轻松答对,还说"这不是很简单吗"。其实我们什么都没做,而只是他的大脑长了半年,多了一些插件,能处理"代换"了。
对慢小孩,慢,就是最好的方式。

对于不喜欢做口算、习题、也不喜欢上数学课的小孩,想要启发他们的数学大脑发展,很可以用"数学游戏"的方式。这些游戏和考试题没有直接关系,但是锻炼的就是数学大脑的基础处理模块。
我家两个小孩,无论是快小孩晴晴,还是慢小孩点点,都不爱做题,也不肯上课。于是我就自行搜索,买了一些数学游戏书,他俩都很喜欢,从不拒绝一起看。
游戏书的特点是具象化和情境化,对于点点这种抽象概念理解比较困难的小孩,在相当具象的图画中,是可以很顺利地做对题目。虽然未来理解算式依然会有困难,但是至少也是能很有逻辑地分析题目了。


如果你家也有数学有困难的小孩,但是你自己不知道要怎么引导,要怎么办?
可以试试我自己做的 AI 景芳老师——专门给孩子启发引导的一对一 AI 老师。
AI 景芳老师绝对不会直接告诉孩子答案,而是一小步一小步给学生提出问题,启发式引导。
学生不会的地方,AI 老师会说"没关系";学生做出来了,AI 老师会说"太棒了"。情绪价值拉满。
无论是快小孩,还是慢小孩,AI 老师都可以根据学生掌握的情况,一步一步推进,最后确保学生在自己的思考下把题目做出来。
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也可以从视频中看看 AI 老师是如何讲解初中数学题的:
家长都给到了各种好评:


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